Mikarimin. Revista Científica Multidisciplinaria ISSN 2528-7842
LA EPISTEMOLOGÍA DE LA MATEMÁTICA EN SU DIDÁCTICA
© Centro de Investigación y Desarrollo. Universidad Regional Autónoma de Los Andes - Extensión Santo Domingo. Ecuador.
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LA EPISTEMOLOGÍA DE LA MATEMÁTICA EN SU DIDÁCTICA
AUTORES: Neel Báez Ureña
1
Ramón Blanco Sánchez
2
DIRECCIÓN PARA CORRESPONENCIA: neelbaez02@gmail.com
Fecha de recepción: 15-08-2020
Fecha de aceptación: 21-10-2020
RESUMEN
En este artículo se analiza y explica la necesidad de que los docentes tengan en cuenta las
características epistemológicas de la Matemática para dirigir el proceso enseñanza aprendizaje de
esta disciplina con fundamentos científicos. Se especifican dichas características las cuales se
derivan de la ontología de esta ciencia y como se reflejan en la didáctica de la Matemática, desde
donde se argumenta la necesidad de lograr que los docentes incorporen dichas características en
la dirección del proceso enseñanza aprendizaje. Se describen las orientaciones dadas al respecto a
12 docentes de Matemática de la universidad APEC y se recogen las opiniones de los docentes
que recibieron dichas orientaciones.
PALABRAS KLAVE: epistemología; didáctica; Matemática.
MATHEMATICS’ EPISTEMOLOGY IN THEIR DIDACTICS
ABSTRACT
In this paper the necessity that the docents keep in mind the Mathematics’ epistemologyc
characteristics is analyzed and explained to direct the teaching learning process of this discipline
using scientific foundations. The afford mentioned characteristics are specified, the ones that
comes from this science's ontology and how they are reflected in the Mathematics’ didactic, from
here the necessity to achieve that the docents incorporate this characteristic in the direction of the
process teaching learning are enlightened. The orientations given to twelve docents from APEC
University about this theme are described and the opinions from the docents that received the
speaking about orientation are gathered.
KEYWORDS: Mathematics; epistemology; didactic
INTRODUCCIÓN
A nivel internacional, en la actualidad se trabaja con los docentes en ejercicio con el fin de que
mejoren su actividad docente tanto en lo que respecta a su formación Matemática como a sus
conocimientos didácticos, para lo que se implementan diferentes actividades de posgrado, las
1
Doctor en Ciencias Pedagógicas, coordinador de la cátedra de Álgebra Superior de la Escuela de Matemática de la
Universidad Autónoma de Santo Domingo (UASD). Colabora con el Instituto Superior de Formación Docente
Salomé Ureña, en la Universidad Acción Pro Educación y Cultura (APEC). República Dominicana.
2
Doctor en Ciencias Pedagógicas, 45 años de experiencia en el proceso enseñanza-aprendizaje de la Matemática,
Profesor Titular, colaborador del Centro de Estudios Enrique José Varona de la Universidad de Camagüey. Cuba. E-
mail: ramon.blanco@reduc.edu.cu
Neel Báez Ureña, Ramón Blanco Sánchez
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cuales no siempre rinden los frutos esperados, lo que es motivado por una variedad considerable
de factores, como interés, falta de tiempo, (muchos docentes tiene más de un trabajo) actividades
que no reflejan los problemas que se le presentan a los docentes en el aula, cursos de didáctica
general que los docentes no pueden llevar a sus aulas, entre otros; esta problemática conduce a
que los docentes en muchas ocasiones realicen su actividad profesional tomando como
referencias los profesores que en su vida de estudiantes consideraron más capaces.
Evidentemente los docentes que trabajen tomando como modelos profesores que tuvieron en su
vida estudiantil, lo harán de manera empírica, pues es posible que el docente o los docentes
tomados de ejemplos, sean verdaderamente modelos a seguir, pero indudablemente desconocen
por qué dichos profesores, tomados como ejemplos, usaban este o aquel método o procedimiento
para desarrollar una determinada actividad docente, o explicar un tema en particular, por lo que
no pueden ajustar sus experiencias a situaciones que varían en cierta medida respecto a las que
ellos vivieron.
De los aspectos señalados como causantes de que los docentes pierdan el interés por los cursos u
otras actividades de posgrado que reciben, el más notorio es el referido a las actividades de
posgrado impartidas por docentes que no tienen formación matemática, pues aunque lógicamente,
siempre se requieren conocimientos de didáctica general, lo que más necesita el docente de
Matemática es didáctica de la Matemática, pero basada en la Matemática misma, ya que la
ciencia Matemática tiene su ontología y epistemología propia que la distinguen del resto de las
ciencias y que definen su didáctica.
Por lo que el objetivo del presente trabajo es mostrar la necesidad de desarrollar una didáctica de
la Matemática basada en la epistemología de esta disciplina. Es algo perfectamente entendible,
que para explicar Matemática es necesario tener en cuenta cómo se produce y desarrolla el
conocimiento en esta ciencia.
DESARROLLO
Características epistemológicas de la Matemática
Dado que la epistemología de una ciencia caracteriza la forma en que se produce y desarrolla el
conocimiento, o sea se ocupa de estudiar la naturaleza, el origen y la validez del conocimiento
sus principios, fundamentos, extensión y métodos, se hace necesario para explicar una ciencia
tener conocimientos de su epistemología o al menos de los aspectos fundamentales que la
caracterizan.
Un estudio sobre el tema nos conduce a asumir la caracterización de la epistemología de la
Matemática explicada por Byas, R. y Blanco, R. (2017), cuya caracterización es la siguiente:
1. La apropiación del concepto implica su representación en diferentes registros semióticos.
2. Se aprende Matemática cuando se realizan las actividades a través de las cuales se
desarrolla la misma.
3. Interrelación: actividad procesal entre sujetos – apropiación del concepto individual.
4. Carácter individual y sistémico del objeto matemático.
5. Carácter singular-general del modelo matemático.
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El aspecto número 1 se deriva a su vez de un aspecto que caracteriza la ontología de la
Matemática según los referidos autores, que es el carácter no ostensivo de los objetos
matemáticos, el hecho de que los objetos matemáticos no tengan vida física obliga a
consideraciones específicas en la didáctica de la Matemática, ya que no hay objetos físicos que
mostrar en lugar de los objetos matemáticos, Duval, R. (2006), lo cual lleva a que se acceda a los
objetos matemáticos a través de sus representaciones semióticas, pero cada representación solo
muestra algunas características del objeto, por lo que se hace necesario el uso de más de una
representación semiótica para que el estudiante pueda interpretar el objeto, por lo que resulta
claro que la apropiación conceptual depende del uso de diferentes representaciones del concepto;
además está en concordancia con el mecanismo del pensamiento humano según la teoría de S. L.
Vigotsy donde se plantea que el pensamiento humano se materializa en símbolos y que sobre esa
materialización el pensamiento sigue su curso Vigotsky, L. (1981), entonces se concluye que la
materialización semiótica de los objetos matemáticos es la base física para el desarrollo del
pensamiento matemático, lo que determina la importancia de estas materializaciones en la
didáctica de la Matemática. Este carácter no ostensivo de los objetos matemáticos está en
estrecha correlación con las deficiencias de los estudiantes en el trabajo conceptual, en Yero, L. y
otros (2018), se plantea que los estudiantes son incapaces de operar con conceptos.
El aspecto número 2 también es consecuencia de otro aspecto que caracteriza la ontología de la
Matemática, esto es: la Matemática es medio y objeto en sí misma Byas, R. y Blanco, R. (2017).
Lo cual pone de manifiesto que cada resultado matemático es obtenido solo con herramientas
matemáticas, sin necesidad de acudir a herramientas fuera del campo de la Matemática, cosa que
no sucede en ninguna otra ciencia; de aquí se deriva que para aprender Matemática hay que
realizar las actividades a través de las cuales se desarrolla la misma, en otras palabras, no se
puede decir que un alumno ha aprendido Matemática porque haga determinadas tareas de modo
reproductivo y no usando conocimientos matemáticos o las tareas que se le asignen se limiten
sólo a ejercicios de cálculo; por lo que esta característica epistemológica de la Matemática indica
la necesidad de que los estudiantes, resuelvan diferentes tipos de tareas matemáticas como
graficar, inducir, demostrar, resolver, etc.
El tercer aspecto, Interrelación: actividad procesal entre sujetos – apropiación del concepto
individual, complementa los aspectos 1 y 2, porque tanto la representación del objeto en
diferentes registros semióticos, como la realización de las actividades a través de las cuales se
desarrolla la Matemática son actividades procesales entre sujetos, que conduce a la apropiación
conceptual; la importancia de este aspecto se manifiesta al ser considerado en diferentes teorías
sobre la enseñanza de la Matemática, aunque no lo expresen con las mismas palabras, como es en
los trabajos de Vigotsky, que se manifiesta en el planteamiento que expresa que la apropiación
conceptual transita de la interrelación inter-psíquica entre sujetos a la apropiación intra-psíquica
individual Vigotsky, L. (1981). También se encuentra inmerso en la teoría APOE de E. Dbinsky,
acción, proceso, objeto, esquema Dubinsky, E. (1991); además en la bibliografía especializada
son abundantes los trabajos donde se estudia o investiga el tránsito del proceso al objeto, entre los
que se destacan los trabajos de D Tall, quien incluso plantea que un proceso puede ser ejecutado
a través de diferentes procedimientos Tall, D. (2007). Por lo que el docente de Matemática debe
estar al tanto de este tránsito del proceso al objeto para dirigir la apropiación conceptual de sus
estudiantes.
El docente de Matemática también debe distinguir el carácter individual del carácter sistémico del
objeto matemático, pues no se debe tratar de la misma forma cuando se trabaja con el objeto
Neel Báez Ureña, Ramón Blanco Sánchez
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matemático en una forma que en otra; cuando el objeto es estudiado en sí mismo, esto es en su
forma individual, la atención se debe enfocar a sus características intrínsecas y para que el objeto
sea incorporado al esquema cognoscitivo del estudiante, es necesario destacar el lugar que ocupa
en la estructura sistémica de la Matemática. Lo planteado se ilustra con el caso de la ecuación:
, en primer lugar, el estudiante trabaja con la misma como un objeto específico,
aprendiendo sus características intrínsecas, para posteriormente convertirla en una herramienta,
muy útil, que le permite, entre otras muchas cosas, resolver ecuaciones tales como:
con un cambio de variable adecuado e incorporarla en el esquema
de las ecuaciones polinómicas. Como se plantea en Sabonete, J. Gamboa, M. y Mestre, U.
(2015), la sistematización de una habilidad, en general, no termina en una temática dada, sino al
ser retomada en una temática posterior, donde el objeto de estudio se ha enriquecido al usarlo
como herramienta.
Que el estudiante logre construir el modelo para la resolución de un problema es una meta
importante en la enseñanza de la Matemática, pero no siempre alcanzada, por lo que el trabajo
con diferentes modelos debe estar presente en el proceso enseñanza aprendizaje de la
Matemática. Pero se debe tener en cuenta que toda una variedad de problemas puede obedecer a
un mismo tipo de modelo, como es el caso del modelo , a través del cual se
pueden resolver muchos problemas; esto es lo que se considera el carácter general del modelo
matemático, pero independientemente de esta generalidad, cada modelo es singular para un
problema específico. Cuando el modelo se usa en su carácter general, es usual que sus
coeficientes estén representados paramétricamente y en su forma singular los coeficientes están
dados numéricamente. Es necesario distinguir ambos caracteres del modelo para evitar el trabajo
mecánico de los estudiantes, quienes en ocasiones tienden a identificar la vía de resolución de un
problema por el tipo de modelo a través del cual se resuelve el mismo; El modelo en su forma
general permite una solución generalizada de un problema, gracias al uso de los coeficientes
expresados paramétricamente, mientras que el modelo en su forma singular permite la solución
de un problema específico.
Didáctica y epistemología
Para lograr que los estudiantes se apropien de un concepto, como ya se explicó, se debe
representar este en diferentes registros semióticos, lo cual el estudiante no hará si no es orientado
a hacerlo por parte del docente; por ejemplo en el caso del concepto de derivada, la definición de
derivada en un punto como: “La tangente trigonométrica del ángulo de inclinación de la tangente
geométrica a la curva en un punto” le dice muy poco a los estudiantes, además no refleja el hecho
de que es un límite, por lo que resulta imprescindible la representación como un límite:
, lo cual permite al estudiante la idea de la derivada como un
cociente de incrementos cuando el incremento tiende a cero, idea que puede ir concretando con el
apoyo gráfico representado como el límite de la secante cuando la secante tiende a la tangente
geométrica, posteriormente las interpretaciones físicas ayudan a que los estudiantes logren
comprender la derivada como el modelo matemático para interpretar todos los fenómenos físicos
de variación instantánea. Evidentemente todos estos cabios de representación deben ser
explicados, destacando que representan el mismo objeto matemático, pues se da el caso que los
estudiantes ven diferentes representaciones semióticas de un mismo objeto, como
representaciones de objetos relacionados pero diferentes. Es claro aquí que el docente debe saber
2
0ax bx c
2
(cos( )) cos( ) 0a b c
2
0ax bx c
0 0
0
0
( ) ( )
( ) lim
h
f x h f x
f x
h
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por qué necesita usar diferentes representaciones de un mismo objeto, pues de lo contrario puede
considerarlo no importante para el aprendizaje de sus estudiantes.
Cuando el docente desconoce que el aprendizaje de la Matemática se produce cuando se ejecutan
las actividades a través de las cuales se desarrolla esta ciencia, no logra la formación del
pensamiento matemático en sus estudiantes, cuando el docente deduce un resultado en el aula sin
haberlo inducido primero, los estudiantes no pueden saber dónde quiere llegar el docente y
perderán interés en lo que se les trata de explicar; en la actualidad los asistentes matemáticos
facilitan en gran medida los procesos inductivos, en particular los que permiten hacer
representaciones dinámicas. Las tareas de demostración son necesarias no solo para lograr una
formación matemática del estudiante, estas tareas contribuyen a su formación conceptual, ya que
para realizar este tipo de tareas tiene que basar su trabajo en la aplicación de conceptos ya
aprendidos que se convierten en herramientas. Se debe lograr que los estudiantes adquieran
hábitos y habilidades para hacer representaciones gráficas, no solo como respuesta a una tarea,
sino como recurso para materializar su pensamiento, de modo que logre identificar las vías de
solución de una tarea. Muchos docentes asumen que el estudiante define, cuando repite una
definición, pero en este caso el estudiantes solo está repitiendo de manera mecánica un conjunto
de palabras que incluso pudiera no comprender; para entrenar a los estudiantes en la habilidad de
definir es necesario pedirle que defina un objeto matemático a partir de diferentes
representaciones del mismo, por supuesto que es poco probable que los estudiantes tengan éxito
completo, por ejemplo se les puede pedir que expresen la definición de triángulo, a partir de la
representación de diferentes triángulos y partiendo de los diferentes planteamientos de los
estudiantes construir la definición correcta. El docente que no está al tanto de la necesidad de
estas diferentes actividades para el aprendizaje matemático de sus estudiantes, no se preocupa por
plantear a sus estudiantes diferentes actividades matemáticas y se limitará a plantear solo tareas
de cálculo.
Usualmente los docentes quieren que sus estudiantes logren la apropiación conceptual
minimizando la actividad procesal, lo que realmente conduce a limitar el trabajo conceptual de
los estudiantes, pues al limitar la actividad procesal, quedan aspectos del concepto que el
estudiante no incorpora en el concepto. Por ejemplo el concepto de límite funcional, dado que la
dificultad del mismo requiere un amplio trabajo procesal, comenzando con una descripción literal
que permita a los estudiantes calcular límites de funciones continuas como: , en
general: siendo f(x) continua en x
0
, después que los estudiantes hayan trabajado con
este tipo de tareas, es necesario plantear la definición formal, esto es: si y solo si
dado ε > 0, existe δ > 0 tal que si entonces: ; definición que tiene
que ser conectada a los cálculos anteriores para que los estudiantes le puedan encontrar sentido a
cada uno de los componentes de la definición, lo cual se hace llevando a la práctica la definición
con tareas como la siguiente: Probar que demostrando que para todo ε tal que
existe un δ tal que . Se debe explicar a los estudiantes que el
hecho de que para todo ε exista un δ se expresa mediante una relación funcional de la forma: f(ε)
= δ, en este caso: , por último: o bien
, luego cualquiera que sea el ε se toma δ = , en otras palabras: f(ε) = . Este
2
3
lim( 2 3)
x
x x
0
lim ( )
x x
f x
0
lim ( )
x x
f x L
0
0 x x
( )f x L
2
2
lim( 4 ) 4
x
x x
2
( 4 ) ( 4)x x
2x
2 2 2
( 4 ) ( 4) ( 4 4) ( 2)x x x x x
2
2x
2x
Neel Báez Ureña, Ramón Blanco Sánchez
110
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resultado se debe ilustrar gráficamente mediante un asistente matemático como el GeoGebra que
permita la animación, obteniéndose gráficos como los siguientes, que permiten apreciar la
dependencia ε, δ. Donde variando los valores de ε, se obtienen los δ correspondientes de manera
automática:
Figura 1. Aproximación épsilon delta
Figura 2. Aproximación épsilon delta
Se deben plantear otros ejercicios de este tipo, pero ahora con funciones que presenten
discontinuidades como los siguientes: , . En este tipo de
tareas es importante hacer una selección adecuada para evitar complicaciones en el trabajo
algebraico que desvíen la atención de los estudiantes, de lo esencial de la tarea que es encontrar la
relación funcional ε, δ.
Se debe destacar que lo orientado aquí es solo el proceso inicial para el trabajo con los límites y
la apropiación del concepto, pero dada la interrelación que se utiliza entre las diferentes formas
de materializar el concepto propicia una vía adecuada para que los estudiantes se apropien de los
aspectos esenciales del concepto.
2
3
2 3
lim 4
3
x
x x
x
0
1
lim3 0
x
xsen
x
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Un aspecto al que se le debe prestar atención en el proceso enseñanza aprendizaje de la
Matemática es que los estudiantes aprecien el carácter sistémico de esta ciencia, dado que la
Matemática es medio y objeto en sí misma y por lo tanto cada propiedad o concepto aprendido es
una herramienta para aprender nuevos contenidos; por lo que el aprendizaje de un contenido
matemático no termina cuando el estudiante se apropia del mismo, es necesario que lo incorpore
a la estructura sistémica de la Matemática, esto es, cada objeto matemático debe ser asimilado en
su carácter individual y sistémico.
Lo cual se puede ilustrar con las funciones trigonométricas, los estudiantes deben concientizar
que estas funciones son unas herramientas de gran utilidad en el trabajo matemático, por ejemplo
para expresar el área de un triángulo como el producto de dos lados por el ángulo comprendido
dividido por dos; para la solución de determinados problemas esta expresión del área es más
conveniente, como es el caso para probar que en triángulos semejantes sus áreas son
proporcionales también; la estructura sistémica de la Matemática se manifiesta en las ecuaciones
de Euler: y donde evaluando en se
obtiene: que relacionan dos de las más importantes constantes de la Matemática, con
la unidad imaginaria y la unidad real, lo cual destaca la fuerte estructura sistémica de la
Matemática. Además, las funciones trigonométricas están presentes en las series de Fourier, las
que a su vez son una herramienta fundamental para resolver ecuaciones en derivadas parciales.
Lo fundamental aquí desde el punto de vista didáctico es que el docente logre convencer a sus
estudiantes que cada contenido que aprenden es una herramienta para aprender nuevos
contenidos y que no existe un concepto matemático que no esté articulado en la estructura
sistémica de la Matemática.
El carácter singular del modelo matemático se refiere a un modelo específico de un problema
específico, lo que implica que los coeficientes necesarios para la conformación del modelo son
los datos particulares del problema, esto es, valores numéricos, para ilustrar lo planteado se
considera el siguiente problema: En una cartera hay 280 pesos en billetes de 5, 10 y 20 pesos, se
sabe que hay un total de 26 billetes y que hay la misma cantidad de billetes de 5 y de 20.
¿Cuántos billetes hay de cada denominación? Designando “x” la cantidad de billetes de 5 y de 20,
por “y” la cantidad de billetes de 10, el modelo para este problema específico, que por supuesto
tiene un carácter singular es:
; pero si el problema se expresa en una forma general, esto es, En una
cartera hay “a” pesos en billetes de 5, 10 y 20 pesos, se sabe que hay un total de “b” billetes y que
hay la misma cantidad de billetes de 5 y de 20. ¿Cuántos billetes hay de cada denominación? En
este caso el modelo se plantea en forma general, o sea, , su carácter
general se manifiesta en que la solución satisface el problema cualquiera que sea la cantidad de
billetes y el total en dinero. Por lo que el carácter general del modelo es un medio de
generalización, puesto que con su utilización se pueden obtener familias de objetos para ser
modelados y simbolizados a través de una estructura común, lo que propicia la significatividad
lógica en la integración de conceptos, procedimientos y relaciones.
cos( ) ( )
ix
e x isen x
cos( ) ( )
ix
e x isen x
1
i
e
2 26
5 20 10 280
x y
x x y
2
5 20 10
x y b
x x y a
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Se debe destacar que el modelo en su carácter general siempre se expresa mediante parámetros, a
través de los cuales se logra la generalidad del modelo, representando clases y unificándolas, para
analizar lo general en lo particular, resolver categorías de problemas y formular soluciones a un
nivel general, lo cual se evidencia en el hecho de que el modelo para demostrar una propiedad en
general siempre se expresa mediante parámetros.
Incorporación de la epistemología de la Matemática en la actividad de los docentes
Se desarrollaron tres talleres en los que participaron doce docentes que imparten diferentes
asignaturas de Matemática en la universidad APEC, impartidos por el primer autor del presente
trabajo con una duración de dos horas cada uno, en los que se explicó a los participantes el
contenido que se describe en el trabajo, se detallaron los diferentes aspectos tratados y se
incluyeron varios ejemplos para profundizar en los temas tratados.
Los talleres se iniciaban con la exposición de una clase por alguno de los participantes; a las
preguntas: ¿por qué explica el contenido de esa manera?, ¿por qué usa esos ejemplos?, ¿por qué
asigna ese tipo de tarea?; las respuestas en más del 90% de los casos las fundamentaban en su
experiencia personal.
En el caso del uso de diferentes registros semióticos para lograr la apropiación conceptual se hizo
énfasis en el trabajo con asistentes matemáticos, en particular el GeogGebra por sus posibilidades
dinámicas y el Maple por sus amplios recursos. Una situación ilustrativa es la representación de
los puntos notables del triángulo, baricentro, circuncentro, hortocentro y el incentro donde al
cambiar la forma del triángulo se puede ver el movimiento de dichos puntos. Todos los
participantes estuvieron de acuerdo en que efectivamente los estudiantes tienen que trabajar con
diferentes representaciones de un concepto para poder apreciar los diferentes aspectos de este,
aunque la mayoría afirmó que de un modo u otro utilizaban más de una representación del
concepto.
En cuanto al trabajo con las diferentes actividades a través de las cuales se desarrolla la
Matemática, la mayoría de los participantes alegaron falta de tiempo para desarrollar todas las
diferentes actividades, en particular en lo que respecta actividades para el desarrollo de la
intuición y las demostraciones; en el primer caso se les ilustró como usando un asistente
matemático como el GeoGebra los estudiantes pueden materializar las hipótesis de teoremas
como el de Rolle, el del valor medio, etc. pueden ver como tiende al
gráfico del cos(x) cuando h tiende a cero. Además, un aspecto fundamental en lo que respecta al
uso de la intuición en la docencia radica en que esta debe preceder a la demostración o uso de una
propiedad o teorema, pues la materialización del resultado al que se quiere arribar propicia que
los estudiantes puedan saber hacia dónde se dirige la explicación del docente y no en la forma en
que aparecen en muchos textos de Matemática donde se plantea la interpretación geométrica del
teorema posterior a la demostración de este.
En lo que respecta a las tareas de demostración, muchos docentes la asocian solo a las
demostraciones de los teoremas o propiedades que están dentro del contenido de la asignatura
que explican, algunas de las cuales no son apropiadas para demostrar en clases, por el tiempo que
toma realizarlas o por el nivel de complejidad que puedan presentar; pero se puede asegurar que
en todo contenido matemático existen ejercicio de demostración interesantes, asequibles a
0
( ) ( )
lim
h
sen x h sen x
h
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diferentes niveles cognoscitivos del grupo y que permiten entrenarlos en la actividad de
demostrar.
En los citados talleres se le mostraron a los docentes diferentes ejemplos algunos de los cuales se
ilustran a continuación:
Probar que la ecuación tiene exactamente una solución real cualquiera que sea
el valor de , en el conjunto de los números reales.
Tomando la función es fácil ver que y que y
como la función es continua, siempre tendrá solo una solución cualquiera que sea el valor de .
Como se puede apreciar es una demostración sencilla, donde además se usa el cálculo de límite
como herramienta.
Se tiene una circunferencia con centro en el punto O, y un punto fijo P en el interior de tal
circunferencia, AC y BD son dos cuerdas cualesquiera de la misma circunferencia que contienen
a dicho punto P. Probar que: AP/BP=DP/CP.
Figura 3. Gráfico auxiliar
Los triángulos APD y CPB son semejantes, los ángulos en P opuestos por el vértice, ang ADC y
ABC subtienden el mismo arco, lo mismo con los ang DAB y BCD. Por semejanza de triángulo
se tiene: AP/BP=DP/CP.
La geometría es un contenido donde abundan ejercicios de demostración muy prácticos para
entrenar a los estudiantes en esta actividad.
Demostrar la ley de los senos en un triángulo acutángulo.
Figura 4. Gráfico auxiliar
sen(B) = h/c, sen(c) = h/b de donde: h = csen(B) y h = bsen(c) luego: csen(B) = bsen(C) o bien:
sen(B)/b = sen(C)/c .(I)
h
c
b
a
C
B
A
5
x x
5
( )f x x x
lim ( )
x
f x
lim ( )
x
f x
Haciendo la
construcción
auxiliar
Neel Báez Ureña, Ramón Blanco Sánchez
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Usando la altura correspondiente al vértice C, del mismo modo se obtiene: sen(A)/a = sen(C)/C
(II) . Relacionando (I) y (II) se tine finalmente: sen(B)/b = sen(C)/c = sen(A)/a
En este caso es muy importante aclarar a los estudiantes que no es una demostración general,
pues no se ha considerado el caso en que la altura pueda caer fuera del triángulo, aunque por
supuesto la ley de los senos se cumple para todo tipo de triángulo.
También se debe tener en cuenta que para que los estudiantes trabajen de forma independiente,
muchas veces es necesario darles algunas orientaciones iniciales, como en este ejemplo, construir
la altura del triángulo.
Demostrar que si 3n + 1 es un cuadrado, entonces n + 1 es la suma de 3 cuadrados.
3n + 1 = (3k + 1)
2
, sumando 1 en ambos términos: o bien
de donde n + 1 es la suma de 3 cuadrados.
Aquí se ha querido ilustrar que independientemente del contenido que se explique, siempre
existen tareas sencillas que permiten entrenar a los estudiantes en el desarrollo de las
demostraciones matemática.
Resultados
Una vez concluidos los talleres los docentes participantes expresaron que los mismos le
resultaron de gran ayuda para el desarrollo de sus actividades docentes, ya que, aunque en
algunos casos hacían algunas de las cosas que se trataron en los talleres, lo hacían por intuición y
no porque conocieran los fundamentos didácticos de los mismos.
En cuento a los cambios de registros de representación, aunque generalmente usaban más de uno,
no conocían la necesidad y utilidad de los mismos en la formación conceptual de los estudiantes.
Aseguraron que les fue útil y prestaran especial atención al tránsito del proceso al concepto en
sus actividades docentes y estuvieron de acuerdo en la importancia de lograr que los estudiantes
aprecien cada concepto que aprenden como una herramienta para el trabajo matemático y no
como algo que necesitan saber para pasar una prueba.
Consideraron muy importantes las ideas que se le plantearon para entrenar a sus estudiantes en
las demostraciones matemáticas y estuvieron de acuerdo con la importancia de esta actividad en
la formación de los estudiantes.
CONCLUSIONES
En el trabajo se muestra una modesta contribución al desarrollo de una didáctica de la
Matemática desde sus características intrínsecas, esto es, su ontología y epistemología.
La explicación de las características epistemológicas planteadas y su ejemplificación en el
proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática ilustran su importancia y el por qué se deben
tener en cuenta en dicho proceso.
Los talleres desarrollados y los resultados planteados por los docentes que recibieron dichos
talleres permitieron una comprobación de la necesidad de instruir a los docentes sobre la
problemática analizada, Desde luego no se plantea que todos los docentes que imparten
Matemática desconozcan la epistemología y ontología de la Matemática, pero son aspectos que
2
(3 1) 1
1 1
3
k
n
2 2 2 2
1 3 2 1 ( 1)n k k k k k
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todos o por lo menos la gran mayoría de los docentes que trabajan en esta disciplina deben
manejar.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Báez, N; Pérez, O y Blanco, R. (2018). Los registros de representación semiótica como vía de materialización de los
postulados vigotskianos sobre pensamiento y lenguaje.
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